Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC=5，D为AB上一动点，D点从A点以1个单位/秒的速度向B点运动，运动到B点即停止，经过D点作DE∥BC，交AC于点E，以DE为一边在BC一侧作正方形DEFG，在D点运动过程中，设正方形DEFG与△ABC的重叠面积为S，运动时间为t秒，如图2是s与t的函数图象．
（1）求BC的长；
（2）求a的值；
（3）求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据图中信息得到t=2时，正方形DEFG的边FG在BC边上，设DE=4x，在△BDG中表示出DM，BM利用勾股定理解决即可．
（2）a的值就是图1中的正方形面积．
（3）分两种情形①0＜t≤2，②2＜t≤5求出重叠部分面积即可．

解答 解：（1）由题意t=2时，正方形DEFG在如图位置，此时AD=2，BD=3，设DE=4x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{4a}{BC}=\frac{2}{5}$，
∴BC=10，x，根据对称性可知BG=FC=3x，
在RT△BDG中，∵BD²=DG²+BG²，
∴9=（3x）²+（4x）²，
∵x＞0，
∴x=$\frac{3}{5}$，
∴BC=10x=6，
（2）由图1可知t=2时，a的值就是图1中的正方形面积，即a=DE²=$\frac{144}{25}$．
（3）在图2中，作AH⊥BC于H，交DE于K，由（1）可知AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵DK∥BH，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DK}{BH}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{DK}{3}$，
∴DK=$\frac{3}{5}$t，DE=2DK=$\frac{6}{5}$t，
当0＜t≤2时，s=$\frac{36}{25}{t}^{2}$，
当2＜t≤5时，∵DM∥AH，
∴$\frac{DM}{AH}=\frac{BD}{BA}$，
∴$\frac{DM}{4}=\frac{5-t}{5}$，
∴DM=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∴s=$\frac{4}{5}$（5-t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
综上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{36}{25}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{24}{25}{t}^{2}+\frac{24}{5}}&{（2＜t≤5）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质以及面积的计算，本题难度较大，解题的关键理解题意是画出图形．