Question

15．若a≥1，则方程$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$=x的所有实根之和等于$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．

Answer 1

分析 将方程两边平方两次后，化成关于x的有理方程，解出有四个实数根，检验后符合条件的只有一个实根，x=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$＜0，x=$\frac{-1-\sqrt{4a-3}}{2}$＜0，x=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$＞1，都不符合题意．

解答 解：$\sqrt{a-\sqrt{a-x}}$=x，
两边平方：a-$\sqrt{a-x}$=x²，
$\sqrt{a-x}$=a-x²，
两边平方得：a-x=（a-x2）²，
x⁴-2ax²-x+a²-a=0，
（x²+x+1-a）（x²-x-a）=0，
x²+x+1-a=0或x²-x-a=0，
x²+x+1-a=0，
x=$\frac{-1±\sqrt{4a-3}}{2}$，x=$\frac{1±\sqrt{1+4a}}{2}$，
∵x≥0，a≥1，
∴x只有一个实数根是：x=$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$，
故答案为：$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．

点评 本题考查了无理方程和高次方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法；常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等，本题运用了乘方法．