Question

10．如图，已知⊙O的半径为1，将一块腰长为$\sqrt{2}$等腰直角三角板ABO的一个顶点与圆心O重合，∠ABO=90°．设点M为⊙O上一动点，连接BM，过点B向BM下方作BN⊥BM，且BN=BM，连接MN，AN，OM，
（1）求AN的长；
（2）若NM与⊙O相切，求∠BMO的度数；
（3）当O，M，N三点在同一直线上时，求ON的长．

Answer 1

分析 （1）由角的和差得到∠ABN=∠MBO，推出△ABN≌△OBM，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠BMN=45°，由NM与⊙O相切，得到∠OMN=90°，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到AN=OM=1，∠ANB=∠M=45°，推出∠ANM=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABO=∠NBM=90°，
∴∠ABO-∠NBO=∠NBM-∠NBO，
即∠ABN=∠MBO，
在△ABN与△OBM中，$\left\{\begin{array}{l}{ABBO}\\{∠ABN=∠OBM}\\{BN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△OBM，
∴AN=OM，
∵⊙O的半径为1，
∴AN=1；

（2）∵∠NBM=90°，BN=BM，
∴∠BMN=45°，
∵NM与⊙O相切，
∴∠OMN=90°，
∴∠BMO=∠BMN+∠NMO=135°；

（3）如图，由（1）证得△ABN≌△OBM，
∴AN=OM=1，∠ANB=∠M=45°，
∴∠ANM=90°，
∵AB=OB=$\sqrt{2}$，
∴AO=2，
∴ON=$\sqrt{A{O}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．