Question

如图一个大正方形纸片，进行如下操作：第一次：将正方形纸片，剪成四个大小一样的小正方形；第二次：将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形；第三次：将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；
（1）填表：

次数	1	2	3	4	…	n
正方形个数	4	7			…

（2）如果到第100次，共剪出多少个小正方形？
（3）若要剪出2011个小正方形，需要进行多少次操作？

Answer 1

解：（1）观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有4+3（n-1）=3n+1个，
（2）令n=100得3n+1=3×100=301，
答：共剪除301个正方形；
（3）令3n+1=2011，解得n=670
答：共需剪670刀．
分析：（1）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可；
（2）根据得到的规律得到通项公式，然后代入求值即可；
（3）将2011代入求得的通项公式求解即可．
点评：本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用通项公式表示出来是解决本题的关键．