【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD∥OC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:点E是弧BD的中点;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)若tan∠ADG=,⊙O的半径为5,求DF的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接OD,如图,根据平行线的性质得∠BOC=∠A,∠DOC=∠ODA,由∠A=∠ODA,得出∠BOC=∠DOC,然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论;
(2)先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°,然后根据切线的判定方法得到结论;
(3)在Rt△ADG中用勾股定理得到OD2=DG2+OG2进行求解.
(1)证明:连接OD,如图,
∵AD∥OC,
∴∠BOC=∠A,∠DOC=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∴∠BOC=∠DOC,
∴,
即点E是弧BD的中点;
(2)证明:在△OCD和△OCB中,,
∴△OCD≌△OCB(SAS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:在△ADG中,tan∠ADG==,
设DG=4x,AG=3x;
又∵⊙O的半径为5,
∴OG=5﹣3x;
∵OD2=DG2+OG2,
∴52=(4x)2+(5﹣3x)2;
∴x1=,x2=0;(舍去)
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×=.
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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点,则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
(问题)如图1,在平面直角坐标中,在轴,轴上分别有点,点是平面内一动点,且,设,求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤:
第一步:如图1,在上取点,使得;
第二步:证明;第三步:连接,此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在上取点,使得,
又.
任务:
将以上解答过程补充完整.
如图2,在中,为内一动点,满足,利用中的结论,请直接写出的最小值.
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【题目】在平面坐标系中,正方形的位置如图所示,点的坐标为,点的坐标为,延长交轴于点,作正方形,正方形的面积为______,延长交轴于点,作正方形,……按这样的规律进行下去,正方形的面积为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,对称轴为直线,点的坐标为.
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)点为抛物线上一点(不与点重合),联结.当时,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点,点的对应点为点,当时,求抛物线平移的距离.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC<60°,AD为的直径,BE⊥AC交AD于P,BE的延长线交⊙O于点F,连结AF,CF,AD交BC于G,在不添加其他辅助线的情况下,图中除AB=AC外,相等的线段共有( )对.
A.2B.3C.4D.5
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【题目】如图,直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上,点F在AC上,∠DFC=∠AEB.
(1)求证:△ADF∽△CAE;
(2)当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时,求BC的长?
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【题目】知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动,车到达A地后,发现C地恰好在A地的正北方向,且距离A地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地,求B、C两地的距离.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)
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【题目】如图,直线y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx+c过点B,并且顶点D的坐标为(﹣2,﹣1).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若抛物线与直线AB的另一个交点为F,点C是线段BF的中点,过点C作BF的垂线交抛物线于点P,Q,求线段PQ的长度;
(3)在(2)的条件下,点M是直线AB上一点,点N是线段PQ的中点,若PQ=2MN,直接写出点M的坐标.
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【题目】速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图,四边形是某速滑场馆建造的滑台,已知,滑台的高为米,且坡面的坡度为.后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面AC的坡度为.
(1)求新坡面的坡角及的长;
(2)原坡面底部的正前方米处是护墙,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙米。请问新的设计方案能否通过,试说明理由(参考数据:)
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