Question

19．已知：如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边AD上，DE=DF，AE与CF交于G，若AB=4，DG=$\sqrt{2}$，则线段GE的长是$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 连接BG，先证B、G、D三点共线；然后利用平行线分线段成比例可求出DE，进而利用勾股定理求出AE的长度，GE自然求出．

解答 解：连接BG，如图，

在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，∠AED=∠CFD，
∴∠AFG=∠CEG，
在△AFG和△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFG=∠CEG}\\{AF=CE}\\{∠FAG=∠ECG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CEG（ASA），
∴AG=CG，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AG=CG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SSS），
∴∠ADG=∠CDG，
∴B、G、D三点共线，
∵AB=4，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
∵DG=$\sqrt{2}$，
∴BG=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DG}{BG}=\frac{GE}{AG}=\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
GE=$\frac{1}{4}AE=\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度中等．证明B、G、D三点共线是解决本题的突破口和关键所在．