Question

【题目】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE、BE、BF、DF．

（1）求证：四边形BEDF为菱形；

（2）若菱形BEDF的边长为2，AE＝2，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝4．

【解析】

（1）连结BD交AC于点O，证明OE＝OF，得到四边形BEDF为平行四边形，再证明EB＝ED，得到四边形BEDF是菱形；

（2）根据△EOB是直角三角形，构造方程求出OA，根据正方形性质求出AB即可．

（1）证明：连结BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，

又∵AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∵EF垂直平分BD，

∴EB＝ED，

∴四边形BEDF是菱形；

（2）设AO＝x，则OE＝x﹣2，

在Rt△EOB中，BE2＝BO2+OE2，

即20＝x2+（x﹣2）2，

解得：x＝4或﹣2（舍），

∴AO＝4，

∴．