Question

【题目】如图，是的直径，为的弦，，与的延长线相交于点，过点的切线交于点．

（1）求证：；

（2）若，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．

（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠A+∠ADB=90°，

∵BC为切线，
∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

而OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠CBP=∠ADB；

（2）解：∵OP⊥AD，

∴∠POA=90°，

∴∠P+∠A=90°，

∴∠P=∠D，

∴△AOP∽△ABD，

∴，即，

∴BP=7．