Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M的坐标；
（4）在直线y=x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在y=x-3中，分别令y=0和x=0，得
x=3和y=-3．
∴B（3，0），C（0，-3）；

（2）∵抛物线过点A（-1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-3），
即 y=x²-2x-3；

（3）由y=x²-2x-3，得y=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点M（1，-4）；

（4）如图，存在满足条件的P₁（1，-2）和P₂（-1，-4），理由如下：
作MN⊥y轴于点N，则∠CNM=90°．
∵M（1，-4），C（0，-3），
∴MN=NC=1，
∴∠MCN=45°，
∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠BCM=90°，
∴要使点P在直线y=x-3上，必有PC=MC．
∠MPC=∠CMP=45°，
则 过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y=x-3于点P₁和P₂，
在y=x-3中，分别令x=1，y=-4，得y=-2，x=-1，
则 P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）．
分析：（1）在y=x-3中，分别令y=0和x=0解方程即可求出B、C的坐标；
（2）将A、B、C的坐标代入抛物线中即可求得抛物线的解析式；
（3）根据（2）的抛物线的解析式用配方或公式法均可求出顶点坐标；
（4）作MN⊥y轴于点N，则∠CNM=90°，证明∠BCM=90°，设过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y=x-3于点P₁和P₂，分别令x=1，y=-4，得y=-2，x=-1，即可求出满足条件的P点坐标．
点评：本题考查了一次函数和二次函数的综合题目，考查数形结合、分类讨论的思想，此题是一道以函数为背景的综合压轴题，第1、2两个小题较为容易，上手很轻松，想提醒大家的是在中考中应该对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量防止漏解，有时不成立的情况也会是一个得分点，这样在考场上浪费不了多少时间，却能避免失分的风险．