Question

如图，直线MN分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）比较大小：S_{四边形AEOC}

 

S_{四边形ODBF}；（填“＞，=，＜”）
（2）求证：

AK

BK

=

CK

DK

；
（3）试判断AN与BM有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）从双曲线上的任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴所围成的矩形的面积相等；
（2）利用上题得到的结论，可以得到四边形AEDK的面积等于四边形CFBK的面积，从而得到其邻边的成绩相等，进而证得比例式成立；
（3）利用上题证得的比例式加上AKB=∠CKD可以证得△AKB∽△CKD，从而可以得到∠ABK=∠CDK，证得四边形ACDN是平行四边形后结论得证．

解答：解：（1）S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．

（2）∵S_{四边形AEDK}=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，
S_{四边形CFBK}=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK．
∴S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}
∴AK•DK=BK•CK．
∴

AK

BK

=

CK

DK

．

（3）∵

AK

BK

=

CK

DK

，∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．
∴∠ABK=∠CDK，
∴AB∥CD．
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．

点评：本题是一道反比例函数的综合题，题目中还考查了比例式的证明及相似三角形的判定的知识，难度中等．