Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状并证明你的结论．
（3）过点C作AM的垂线，垂足为H．当△ABC的内角满足什么关系时，四边形ADCH是正方形（只写结果）．

Answer 1

分析 （1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于R，分别以G、R为圆心，以大于$\frac{1}{2}$GR为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F；
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性质，得出AD=CD时，四边形ADCH是正方形，只要△ABC是等腰直角三角形进而得出答案．

解答 解：（1）如图所示：

（2）△ADF是等腰直角三角形．
理由：∵AB=AC，AD是高，
∴∠BAD=∠CAD
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AF∥BC，
∴∠CDF=∠AFD，
又∵∠AFD=∠ADF，
∴∠CDF=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰直角三角形；

（3）当∠BAC=90°时，四边形ADCH是正方形．

点评 本题考查了作图-基本作图以及正方形的判定、等腰三角形的性质和判定的应用，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．