Question

已知：如图（1），直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，在x轴正半轴上取一点C，使△ABC的面积为6．

（1）求∠BAC的度数和点C的坐标；
（2）求△ABC的外心O′的坐标；
（3）如图（2），以O′为圆心O′A为半径作⊙O′，另有点P，直线PT切⊙O′于T．当点O′在平行于y轴的直线上运动（⊙O′的大小变化）时，PT的长度是否发生变化？若变化，求其变化范围；若不变化，求出PT的长度．

Answer 1

解：（1）由，得A（-3，0），
由，得B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴∠BAC=45°．
∵△ABC的面积为6，
∴，
∴AC=4，∴OC=AC-OA=1，
∵点C在x轴正半轴上，
∴点C坐标为（1，0）．

（2）由（1）可知：△ABO是等腰直角三角形，
∴线段AB的垂直平分线是直线y=-x，
∵线段AC的垂直平分线是直线x=-1，点O是线段AB、AC垂直平分线的交点，
∴由，得点O′的坐标为（-1，1）．

（3）PT的长度不会发生变化．
解：由（2）可知点O′在平行于y轴的直线上运动且经过点（-1，1），
即点O′在直线x=-1上运动．
如图，连接PO′，TO′，AO′，设直线x=-1与x轴交点为E．
∵PT切⊙O′于T，
∴∠PTO′=90°，
由勾股定理，得PT²=O′P²-O′T²，
∵O′A=O′T，∴PT²=O′P²-O′A²．
在Rt△AO′E中，∠O′EA=90°，
∴O′A²=O′E²+AE²．
在Rt△PO′E中，∠O′EP=90°，
∴PE²=O′P²-O′E²，
∴PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
∵点E在直线x=-1时，且在x轴上，
∴E（-1，0）．
∴PE=，AE=2，
∴．
分析：（1）根据已知，直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，求出A、B两点的坐标．首先确定△AOB是直角三角形，进而根据AO、BO的长求出∠BAC的度数；再根据三角形的面积公式，求出AC的长度，进而求出C点的坐标．
（2）根据等腰直角三角形斜边上的高、垂直平分线的特殊关系．求出AB垂直平分线的解析式，再求出AC垂直平分线的解析式．根据这两个解析式求出交点的坐标，即△ABC的外心O′的坐标．
（3）根据（2）确定出O′运行的轨迹，
连接PO′，TO′，AO′，设直线x=-1与x轴交点为E．
构造Rt△TPO′、Rt△AO′E、Rt△PO′E，根据勾股定理及圆O′的直径，得PT²=O′P²-O′A²，O′A²=O′E²+AE²，PE²=O′P²-O′E²．进而得出PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
根据点E在直线x=-1时，且在x轴上求出E点坐标
进而求出PE，AE．
最终求出PT的长度．
点评：此类题目是函数、圆、直角三角形知识的综合运用．难点在第（3）题，解决的根据是多次运用勾股定理，建立起线段间的关系．