Question

11．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；
（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．

Answer 1

分析 （1）先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据∠B=90°，得出四边形ABCD是矩形；
（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出$\frac{AB}{BM}$=$\frac{BP}{MQ}$，即$\frac{6}{8-4t}$=$\frac{4t}{3t}$，求得t的值即可；
（3）分为三种情况讨论：当CQ=CP=4cm时，当PQ=CQ=4cm时，当QP=CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，
∴AB²+BC²=100，AC²=100，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则
CQ=5t，QM=3t，CM=4t，MB=8-4t，
∵∠NAB+∠ABN=90°，∠ABN+∠NBP=90°，
∴∠NAB=∠NBP，且∠ABP=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△BMQ，
∴$\frac{AB}{BM}$=$\frac{BP}{MQ}$，即$\frac{6}{8-4t}$=$\frac{4t}{3t}$，
解得t=$\frac{7}{8}$；

（3）分为三种情况：
①如图1所示，当CQ=CP=4cm时，BP=8-4=4cm，
∴t=4秒；
②如图2所示，当PQ=CQ=4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则
AB∥QM，
∴$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{CM}{BC}$，即$\frac{4}{10}$=$\frac{CM}{8}$，
解得CM=3.2（cm），
∵PQ=CQ，QM⊥CP，
∴PC=2CM=6.4cm，
∴BP=8-6.4=1.6cm，
∴t=1.6秒；
③如图3所示，当QP=CP时，过P作PN⊥AC于N，则
CN=$\frac{1}{2}$CQ=2，∠CNP=∠B=90°，
∵∠PCN=∠BCA，
∴△PCN∽△ACB，
∴$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$，即$\frac{2}{8}$=$\frac{CP}{10}$，
∴CP=2.5cm，
∴BP=8-2.5=5.5cm，
∴t=5.5秒．
综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．