Question

17．如图，抛物线y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A，B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D，设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当E为AB的中点时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）先根据坐标轴上点的特点求出点A，B，C的坐标即可得出结论；
（2）先求出△ABC的面积，再判断出△ADE∽△ACB，即可得出结论；
（3）先求出BC，BE，再判断出△BEF∽△BCO得出比例式即可求出EF，最后用圆的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
令x=0，则y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，

（2）在△ABC中，AB=4，OC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵DE∥CB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{AE}{AB}）^{2}$，
∴$\frac{s}{8}=（\frac{m}{4}）^{2}$，
∴s=$\frac{1}{2}$m²（0＜m＜4）．

（3）如图，

过点E作EF⊥BC于F，
∴△BEF∽△BCO，
∴$\frac{EF}{OC}=\frac{BE}{BC}$，
∵点E是AB中点
∴BE=2，
根据勾股定理得，BC²=OC²+OB²，
∴BC²=4²+3²=25，
∴BC=5，
将BE=2，BC=5，OC=4代入$\frac{EF}{OC}=\frac{BE}{BC}$，得，EF=$\frac{8}{5}$，
∴以点E为圆心，与BC相切的圆的半径为$\frac{8}{5}$，面积为π×（$\frac{8}{5}$）²=$\frac{64}{25}$π．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，圆的面积公式，解（1）的关键是求出点A，B，C的坐标，解（2）的关键是判断出△ADE∽△ACB，解（3）的关键是求出BC=5，是一道中等难度的题目．