Question

20．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C．AB∥x轴，点A的坐标为（4，6），连接AC交x轴于D．连接BD．
（1）确定k的值；
（2）求直线AC的解析式；
（3）判断四边形OABD的形状，并说明理由；
（4）求△OAC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由AB与x轴平行，且A纵坐标为6，得到B纵坐标为6，再由C为OB中点，确定出C纵坐标为3，代入反比例解析式确定出C坐标，利用待定系数法确定出直线AC解析式即可；
（3）四边形OABC为平行四边形，理由为：由C的坐标确定出B的坐标，进而确定出AB的长，由直线AC与x轴的交点为D，确定出D坐标，得出OD的长，由AB与OD平行且相等，得到四边形OABC为平行四边形；
（4）由四边形OABC为平行四边形，得到对角线互相平分，得到三角形AOC面积为平行四边形面积的四分之一，求出即可．

解答 解：（1）将A（4，6）代入解析式y=$\frac{k}{x}$得：k=24；
（2）∵AB∥x轴，B的纵坐标是6，C为OB中点，
∴把y=3代入反比例解析式得：x=8，即C坐标为（8，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（4，6）与C（8，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=6}\\{8k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=9}\end{array}\right.$，
则直线AC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+9；
（3）四边形OABC为平行四边形，理由为：
∵点C的坐标为（8，3），
∴B的坐标为（16，6），即AB=12，
把y=0代入y=-$\frac{3}{4}$x+9中得：x=12，即D（12，0），
∴OD=12，
∴AB=OD，
∵AB∥OD，
∴四边形OABC为平行四边形；
（4）∵S_{四边形OABC}=12×6=72，
∴S_△OAC=$\frac{1}{4}$S_{四边形OABC}=18．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及线段中点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．