Question

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA＝时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；

(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是________三角形；

(3)由(1)(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是________三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结QO，由QP＝OP得∠PQO＝∠POQ，又由∠QPC＝，可得∠QOC＝，由∠CQO＝得∠QCP＝，从而∠QCP＝∠QPC＝∠CQP＝，即△CQP为等边三角形．或方法二；由PQ＝PO得∠PQO＝∠POQ，由∠PQO＋∠PQC＝∠QCO＋∠QOC＝得∠PCQ＝∠PQC，所以PQ＝PC，得△PCQ为等腰三角形，又由∠QPC＝，得△PCQ为等边三角形． 　　(2)等腰直角三角形 　　(3)等腰三角形