Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，求tan∠DEC．

Answer 1

分析 （1）易证∠ADF=∠CED和∠AFD=DCE，即可证明△ADF∽△DEC．
（2）根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠DEC=tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$即可解题．

解答 （1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠DCE，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{6\sqrt{3}}{DE}$，
∴DE=12，
∵在RT△ADE中，AE²=DE²-AD²，
∴AE=6，
∴tan∠DEC=tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF∽△DEC，学会转化的思想，属于中考常考题型．