Question

17．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：FC=FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．
（2）只要证明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
（2）由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割线定理得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²-BF²，推出FG²-4FG-12=0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴$\frac{CE}{DF}$=$\frac{AE}{AF}$，$\frac{AE}{AF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∴$\frac{CE}{DF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF=BF．
（2）证明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
（3）解：：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG，FB=FE=2，
∴由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，
∴FG²-4FG-12=0，
解得：FG=6，FG=-2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径是2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度