Question

11．已知在等腰直角三角形ABC中，E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接BF．
（1）当E在边BC上时，如图①易证：AF=CF+$\sqrt{2}$BF．（不需证明）；
（2）当点E在CB的延长线上（如图②）或点E在BC的延长线上（如图③）的位置时，分别写出线段AF，CF和BF之间有怎样的数量关系，并对图②进行证明．

Answer 1

分析 （1）如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题．
（2）①如图②中，结论：CF-AF=$\sqrt{2}$BF．作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题．
②如图③中，结论：CF+AF=$\sqrt{2}$BF．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．

∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠EFC=∠EBA=90°，
∠CEF=∠AEB，
∴∠ECF=∠EAB，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AF-AH=AF-CF，
∴AF-CF=$\sqrt{2}$BF，
∴AF=CF+$\sqrt{2}$BF．

（2）①如图②中，结论：CF-AF=$\sqrt{2}$BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．
∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠AFC=∠ABC=90°，
∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°
∴∠ECF=∠EAB，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AH-AF=CF-AF，
∴CF-AF=$\sqrt{2}$BF．

②如图③中，结论：CF+AF=$\sqrt{2}$BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．
∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠AFC=∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°
∴∠BCF=∠BAH，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AH+AF=CF+AF，
∴CF+AF=$\sqrt{2}$BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．