Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AB上，AB=DC=DE， AD⊥AB，BC⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为点A，B，F，AD=BC=6，EB=2.

（1）求证：CF=CB；

（2）求△DEC的面积S的值；

（3）若将△DEC沿着DE翻折得到△DEG，DG交AB于点T，试判断线段DT与CE的长度是否相等：并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）不相等，理由见解析.

【解析】

（1）根据AB∥CD，可得∠CDE=∠DEA，由AD⊥AB，CF⊥DE，可得∠A=∠CFD=90°，然后根据AAS定理证明△DCF≌△EDA，从而得到CF=DA，问题得解；（2）利用CF=CB，CE=CE，根据HL定理证明Rt△CFE≌Rt△CBE，得到EF=EB=2，设DE=DC=x，利用勾股定理列方程求DE的长，从而求出三角形面积；（3）利用勾股定理求出CE的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质，可得DT=TE，设DT=TE=y，在Rt△DAT中，列方程求DT的长，从而求证问题.

解：（1）∵AB∥CD

∴∠CDE=∠DEA

∵AD⊥AB，CF⊥DE

∴∠A=∠CFD=90°

又∵DC=DE

∴△DCF≌△EDA

∴CF=DA

∵AD=BC

∴CF=CB

（2）∵BC⊥AB，CF⊥DE

∴∠B=∠CFE=90°

又∵CF=CB，CE=CE

∴Rt△CFE≌Rt△CBE（HL）

∴∠CFD=∠B=90°，CF=BC=6,EF=EB=2

设DE=DC=x，则DF=x-2

由题意，在Rt△DFC中，

解得：x=10

∴

（3）由题意可知，在Rt△BCE中，

由折叠性质可知，∠TDE=∠CDE

∵AB∥CD

∴∠CDE=∠DEA

∴∠TDE=∠DEA

∴DT=TE

设DT=TE=y，则AT=10-2-y=8-y

在Rt△DAT中，

解得：

∴DT与CE的长度不相等