Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）求证：BC2＝2CDOE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连接OD，根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE＝90°；（2）连接OE，根据三角形中位线性质证△ABC∽△BDC，BC2＝2CDOE．

（1）证明：连接OD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE＝DE＝BE＝ BC，

∴∠C＝∠CDE，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，

∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为圆O的切线；

（2）证明：连接OE，

∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE

∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，

∴△ABC∽△BDC，．

BC2＝2CDOE．；