Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

Answer 1

考点：相似形综合题,二次函数的最值,三角形的面积,全等三角形的性质

专题：几何综合题

分析：（1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似；
（2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；
（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²，易求得：BC=

3

AC，则λ=

3

．

解答：解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴

PQ

AC

=

QB

BC

=

PB

AB

，即 

PQ

3

=

QB

4

=

x

5

∴PQ=

3

5

x，QB=

4

5

x
S_△APQ=

1

2

PQ×AQ
=-

6

25

x2+

3

2

x
=-

6

25

(x-

25

8

)2+

75

32

∴当x=

25

8

时，△APQ的面积最大，最大值是

75

32

；

（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
∴BC=

3

AC
∴λ=

3

时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点．难度较大．注意，在证明三角形相似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边．