Question

【题目】如图，二次函数 的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点.

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：将A（2，0）、B（0，﹣6）两点代入则：
，解得： ，∴解析式为y= x2+4x﹣6，∵y= x2+4x﹣6= ，∴顶点坐标为：（4，2）
（2）解：令 x2+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6，∴另一个交点C（6，0），
∴AC=2，∴S△ABC= ×2×6=6
（3）解：存在．分两种情况讨论：

①显然过B作BP∥OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)；
②过O作OP∥BC交对称轴于点P，∵OB∥PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，∴P(2，6)．
综上所述：P（2，6）或P（2，－6）．
【解析】把A点和B点坐标代入二次函数中中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
先把第一小题中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
利用PC∥OB，则根据平行四边形的判定方法，当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P点坐标．