Question

（本题12分）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m–4）2+n2–8n=–16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．

（1）求A点的坐标．（3分）

（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE．（4分）

（3）如图（2），若∠ECF=45°，给出两个结论：?OF+AE–EF的值不变；?OF+AE+EF的值不变．其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值（5分）．

Answer 1

（1）A（3，3），B（3，0），C（0，3）；

（2）证明见解析；

（3）结论①正确，即OF+AE﹣EF的值不变．

【解析】

试题分析：（1）已知等式变形后，利用非负数的性质求出m与n的值，即可确定出A，B，C的坐标；

（2）由AE+EB=AB，以及OF+BE=AB，得到AE=OF，根据四边形ABOC为正方形，得到CA=CO，且∠A=∠COF=90°，利用SAS得到三角形ACE与三角形OCF全等，利用全等三角形对应边相等得到CF=CE；

（3）结论①正确，即OF+AE﹣EF的值不变，理由为：在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，连接CH，利用SAS得到三角形ACE与三角形OCH全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=HC，∠1=∠2，根据∠ACO=90°，∠ECF=45°，得到∠1+∠3=45°，等量代换得到∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，利用SAS得到三角形ECF与三角形HCF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=HF，而HF=OH+OF，等量代换得到EF=AE+OF，即AE+OF﹣EF=0．

试题解析：（1）将（m﹣3）2+n2=6n﹣9变形得：（m﹣3）2+（n﹣3）2=0，

∴m=3，n=3，

∴A（3，3），B（3，0），C（0，3）；

（2）∵OF+BE=AB，AE+EB=AB，

∴AE=OF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC=OC，∠A=∠COF=90°，

在△ACE和△OCF中，

，

∴△ACE≌△OCF（SAS），

∴CF=CE；

（3）结论①正确，即OF+AE﹣EF的值不变，理由为：

在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，连接CH，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC=OC，∠A=∠COH=90°，

在△ACE和△OCH中，

，

∴△ACE≌△OCH（SAS），

∴∠1=∠2，EC=HC，

∵∠ACO=90°，∠ECF=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，

在△ECF和△HCF中，

，

∴△ECF≌△HCF（SAS），

∴EF=HF=HO+OF=AE+OF，

则OF+AE﹣EF=0．

考点：四边形综合题