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【题目】如图,直线AB:y=﹣x﹣b分别与x,y轴交于A(6,0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:OC=3:1.

(1)求点B的坐标;
(2)求直线BC的解析式;
(3)直线EF:y=2x﹣k(k≠0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于点D,是否存在这样的直线EF,使得SEBD=SFBD?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:将点A(6,0)代入直线AB解析式可得:0=﹣6﹣b,

解得:b=﹣6,

∴直线AB 解析式为y=﹣x+6,

∴B点坐标为:(0,6)


(2)

解:∵OB:OC=3:1,

∴OC=2,

∴点C的坐标为(﹣2,0),

设BC的解析式是y=ax+c,代入得;

解得:

∴直线BC的解析式是:y=3x+6


(3)

解:过E、F分别作EM⊥x轴,FN⊥x轴,则∠EMD=∠FND=90°.

∵SEBD=SFBD

∴DE=DF.

又∵∠NDF=∠EDM,

∴△NFD≌△EDM,

∴FN=ME,

联立得

解得:yE=﹣ k+4,

联立

解得:yF=﹣3k﹣12,

∵FN=﹣yF,ME=yE

∴3k+12=﹣ k+4,

∴k=﹣2.4;

当k=﹣2.4时,存在直线EF:y=2x+2.4,使得SEBD=SFBD


【解析】(1)将点A(6,0)代入直线AB的解析式,可得b的值,继而可得点B的坐标;(2)设BC的解析式是y=ax+c,根据B点的坐标,求出C点坐标,把B,C点的坐标分别代入求出a和c的值即可;(3)过E、F分别作EM⊥x轴,FN⊥x轴,则∠EMD=∠FND=90°,有题目的条件证明△NFD≌△EDM,进而得到FN=ME,联立直线AB:y=﹣x﹣b和y=2x﹣k求出交点E和F的纵坐标,再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值;
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识,掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小,以及对一次函数的图象和性质的理解,了解一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远.

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【题目】已知:如图,△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上,且∠ACB=90°,AC=2,BC=1,当点A从原点出发朝x轴的正方向运动,点C也随之在y轴上运动,当点C运动到原点时点A停止运动,连结OB.

(1)点A在原点时,求OB的长;
(2)当OA=OC时,求OB的长;
(3)在整个运动过程中,OB是否存在最大值?若存在,请你求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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A.(a52=a7
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特例探索

(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=_____________,b=_____________

如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=_____________,b=_____________

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.

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A. x3x32x6 B. x6÷x2x3 C. (3x3)23x6 D. x3·x2x5

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A. B. C. D.

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