Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax²+bx+3上，
∴，
解得a=-1，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=-x²+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：
，
解得k=-1，b=3，
∴y=-x+3．
设E点坐标为（x，-x²+2x+3），则P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=y_E-y_F=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF=OD=2，
∴-x²+3x=2，即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与?ODEF对称中心的直线平分?ODEF的面积．

①当P（1，0）时，
点F坐标为（1，2），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（，2）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），G（，2）坐标代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直线的解析式为：y=x+；
②当P（2，0）时，
点F坐标为（2，1），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（1，）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），G（1，）坐标代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直线的解析式为：y=x+．
综上所述，所求直线的解析式为：y=x+或y=x+．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；
（3）本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与?ODEF对称中心的直线平分?ODEF的面积．
点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式．