Question

10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C为优弧BA上一动点．若OA=15，sin∠C=$\frac{4}{5}$，则S_△PAB的值为（　　）

• A． 108
• B． 150
• C． 300
• D． 192

Answer 1

分析 连接OP、AB，它们相交于点H，如图，利用切线长定理和切线的性质得到PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，则利用等角的余角相等得∠POA=∠POB，同时可证明OP垂直平分AB，再根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C，则∠PAO=∠C，接下来利用三角函数的定义，在Rt△PAO中利用sin∠POA=$\frac{PA}{OP}$=sinC=$\frac{4}{5}$，设PA=4x，OP=5x，则OA=3x，所以3x=15，解得x=5，所以OP=25，在Rt△OAH中利用三角形函数求出AH=12，于是得到OH=9，AB=2AH=24，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：连接OP、AB，它们相交于点H，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，
∴∠POA=∠POB，
而OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠PAO=∠C，
在Rt△PAO中，sin∠POA=$\frac{PA}{OP}$=sinC=$\frac{4}{5}$，
设PA=4x，则OP=5x，
∴OA=3x，
∴3x=15，解得x=5，
∴OP=25，
在Rt△OAH中，∵sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴AH=12，
∴OH=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，AB=2AH=24，
∴PH=PO-OH=16，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×24×16=192．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了正弦的定义．