Question

15．如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个x的值相减即可得到答案．

解答 解：（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{5k+b=60}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=9}\\{b=15}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x≤5），
设加热停止后反比例函数表达式为y=$\frac{a}{x}$（a≠0），
∵该函数图象经过点（5，60），
∴$\frac{a}{5}$=60，
解得：a=300，
∴反比例函数表达式为y=$\frac{300}{x}$（x≥5）；

（2）∵y=9x+15，
∴当y=30时，9x+15=30，
解得x=$\frac{5}{3}$，
∵y=$\frac{300}{x}$，
∴当y=30时，$\frac{300}{x}$=30，
解得x=10，
10-$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{3}$，
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为$\frac{25}{3}$分钟．

点评 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．