Question

已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点A，B，与y交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过点A，B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
∴C．
（2）以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P是抛物线与y轴的交点，
∴OP=2，
∴MP=
∴P在⊙M上，
∴由抛物线的对称性可知，，
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．         
（3）在Rt△OBC中，.
第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P .

∴∠PAB=∠ABC.
过P作PQ⊥AB于Q，
∴.
∵P（m，n）,
∴PQ=n，AQ=m+1
∴.
∴.
解得
∴ 
第二种情况：点P关于x轴的对称点的坐标为
∴直线AP″的解析式为
∴解得
∴ 
∴

解析试题分析：（1）将A点，B点坐标代入解析式，即可求出解析式，可得 C点坐标；（2）以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，根据题意可证得P在⊙M上，由抛物线的对称性可知，，可得-1＜m＜0，或3＜m＜4；（3）根据题意分两种情况进行讨论，即可得出答案.
考点：二次函数综合题．
点评：本题是二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，学生还要熟练掌握数形结合思想、分类讨论思想的综合应用.本题综合性强，有一定的难度.