【题目】如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E在边AD上,连接BE,在BE上取点F,连接AF并延长交BD于H,且∠AFE=60°,过C作CG∥BD,直线CG、AF交于G.
(1)求证:∠FAE=∠EBA;
(2)求证:AH=BE;
(3)若AE=3,BH=5,求线段FG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)FG=.
【解析】
(1)先证明两三角形相似,再根据性质得到结果(2)先证明两三角形相似,再根据性质得到边的关系(3)先作辅助线,再证明两三角形相似,再根据相似三角形性质得到结果.
解:(1)∵∠AFE=∠BAE=60°、∠AEF=∠BEA,
∴△AEF∽△BEA,
∴∠FAE=∠ABE;
(2)∵四边形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,
∴AB=AD、∠BAE=∠ADB=60°,
在△ABE和△DAH中,
∵
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AH=BE;
(3)如图,连接AC交BD于点P,则AC⊥BD,且AC平分BD,
∵△ABE≌△DAH,
∴AE=DH=3,
则BD=BH+DH=8,
∴BP=PD=4,PH=BH﹣BP=1,
∵AB=BD=8,
∴AP==4,
则AC=2AP=8,
∵CG∥BD,且P为AC中点,
∴∠ACG=90°,CG=2PH=2,
∴AG==14,BE=AH=AG=7,
∵△AEF∽△BEA,
∴=,即=,
解得:AF=,
∴FG=AG﹣AF=14﹣=.
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【题目】已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=﹣1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线l上的点,且x3<﹣1<x1<x2,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A. y1<y2<y3 B. y2<y3<y1 C. y3<y1<y2 D. y2<y1<y3
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【题目】小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=+=1.
据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别是边BC、CD的中点,直线EF交边AD的延长线于点M,交边AB的延长线于点N,连接BD.
(1) 求证:四边形DBEM是平行四边形;
(2) 连接CM,当四边形ABCM为平行四边形时,求证:MN=2DB.
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【题目】在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A的坐标为(3,4),点B的坐标为(7,0),D,E分别是线段AO,AB上的点,以DE所在直线为对称轴,把△ADE作轴对称变换得△A′DE,点A′恰好在x轴上,若△OA′D与△OAB相似,则OA′的长为________.(结果保留2个有效数字)
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【题目】如图,点A、B是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点,延长线段AB交y 轴于点C,且点B为线段AC中点,过点A作AD⊥x轴子点D,点E 为线段OD的三等分点,且OE<DE.连接AE、BE,若S△ABE=7,则k的值为( )
A. ﹣12 B. ﹣10 C. ﹣9 D. ﹣6
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【题目】如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?
(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?
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【题目】为了解同学们的身体发育情况,学校体卫办公室对七年级全体学生进行了身高测量(精确到1cm),并从中抽取了部分数据进行统计,请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图解答下列问题:
频率分布表
分组 | 频数 | 百分比 |
144.5~149.5 | 2 | 4% |
149.5~154.5 | 3 | 6% |
154.5~159.5 | a | 16% |
159.5~164.5 | 17 | 34% |
164.5~169.5 | b | n% |
169.5~174.5 | 5 | 10% |
174.5~179.5 | 3 | 6% |
(1)求a、b、n的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)学校准备从七年级学生中选拔护旗手,要求身高不低于170cm,如果七年级有学生350人,护旗手的候选人大概有多少?
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