Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=2$\sqrt{3}$，BE=1．
求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．

解答 证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-1）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2，
∴OA=OC=2，OE=2，
∴AE=3，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．

点评 此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．