Question

19．拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
（1）观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²．
（2）用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为（a+b）（a-b）=a²-b²．
（3）两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你能发现a，b，c之间具有怎样的相等关系？（用最简形式表示）

Answer 1

分析 （1）利用长方形的面积计算得出答案即可；
（2）阴影部分拼接得到长为a+b，宽为a-b的长方形，面积就是两个正方形的面积差；
（3）用梯形面积公式求出梯形面积；由三个三角形面积之和求出梯形面积；根据两种求法得出的面积相等列出关系式，化简即可得到结果．

解答 解：（1）（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²．
（2）（a+b）（a-b）=a²-b²．
（3）梯形面积=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，或者梯形面积=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
化简，得a²+b²=c²．

点评 此题考查因式分解的实际运用，利用面积的和与差验证和解决问题．