Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=BD+DE；
（2）若AB=10cm，求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质得出DE=DC，得出BD+DE=BC，再由AC=BC，即可得出结论；
（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，即可得解．

解答 （1）证明：∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∴BD+DE=BD+DC=BC，
又∵AC=BC，
∴BD+DE=AC．
（2）解：∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．