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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2),连接BC.

(1)求该抛物线的解析式和对称轴,并写出线段BC的中点坐标;
(2)将线段BC先向左平移2个单位长度,再向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上,求此时点C1的坐标和m的值;
(3)若点P是该抛物线上的动点,点Q是该抛物线对称轴上的动点,当以P,Q,B,C四点为顶点的四边形是平行四边形时,求此时点P的坐标.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=ax2+bx﹣3a(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,2),

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣1)2+2

∴对称轴是x=1,

∵1+(1+1)=3,

∴B点坐标为(3,0),

∴BC的中点坐标为(1.5,1)


(2)

解:∵线段BC先向左平移2个单位长度,再向下平移m个单位长度,使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上,

∴点C1的横坐标为﹣2,

当x=﹣2时,y=﹣ ×(﹣2)2+ ×(﹣2)+2=﹣

∴点C1的坐标为(﹣2,﹣ ),

m=2﹣(﹣ )=5


(3)

解:①若BC为平行四边形的一边,

∵BC的横坐标的差为3,

∵点Q的横坐标为1,

∴P的横坐标为4或﹣2,

∵P在抛物线上,

∴P的纵坐标为﹣3

∴P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 );

②若BC为平行四边形的对角线,

则BC与PQ互相平分,

∵点Q的横坐标为1,BC的中点坐标为(1.5,1),

∴P点的横坐标为1.5+(1.5﹣1)=2,

∴P的纵坐标为﹣ ×22+ ×2+2=2,

∴P3(2,2).

综上所述,点P的坐标为:P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 ),P3(2,2)


【解析】(1)把点A(﹣1,0)和点C(0,2)的坐标代入所给抛物线可得a、b的值,进而得到该抛物线的解析式和对称轴,再求出点B的坐标,根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可;(2)根据平移的性质可知,点C的对应点C1的横坐标为﹣2,再代入抛物线可求点C1的坐标,进一步得到m的值;(3)B、C为定点,可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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