Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的边长为1

（2）解：CN=2EM

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC

∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，AE=FE

∴EO为△AFC的中位线

∴EO∥BC

∴

∴在Rt△AEN中，OA=OC

∴EO=OC= AC，

∴CM= EM

∵AF平分∠ACF，

∴∠OCM=∠BCN，

∵∠NBC=∠COM=90°，

∴△CBN∽△COM，

∴ ，

∴CN= CM，

即CN=2EM

【解析】（1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；（2）先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出 ，进而利用直角三角形得出CM= EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN= CM，即可得出结论．