【题目】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).
时间x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天销售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.
【答案】
(1)解:当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),
∴ ,解得:
,
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;
当50≤x≤90时,y=90.
∴售价y与时间x的函数关系式为y= .
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),
∴ ,解得:
,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当1≤x≤50时,w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当50≤x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=
(2)解:当1≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且1≤x≤50,
∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.
当50≤x≤90时,w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.
∵6050>6000,
∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.
即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元
(3)解:当1≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
当50≤x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:50≤x≤53 ,
∵x为整数,
∴50≤x≤53,
53﹣50+1=4(天).
综上可知:21+4﹣1=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元
【解析】(1)当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50≤x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当1≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50≤x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
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【题目】探究:如图,分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于点P. 求证:∠ANC = ∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点,连结PQ. 若BC = 6,则PQ = ___________.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y= (k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是 .
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
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【题目】如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
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【题目】在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(﹣6,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.
(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.
(2)若α为锐角,tanα= ,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.
(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为 :1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点,且B(1,0)
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线y= x﹣
分别与x轴、y轴交于C、F两点,点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE.问:以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
(1)b= , c= , 点B的坐标为;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
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【题目】如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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