【题目】如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB= ,BC=2,求⊙O的半径.
【答案】
(1)解:直线CE与⊙O相切.
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC;
又∵∠ACB=∠DCE,
∴∠DAC=∠DCE;
连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE;
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°,即OE⊥CE.
又OE是⊙O的半径,
∴直线CE与⊙O相切
(2)解:∵tan∠ACB= =
,BC=2,
∴AB=BCtan∠ACB= ,
∴AC= ;
又∵∠ACB=∠DCE,
∴tan∠DCE=tan∠ACB= ,
∴DE=DCtan∠DCE=1;
方法一:在Rt△CDE中,CE= =
,
连接OE,设⊙O的半径为r,则在Rt△COE中,CO2=OE2+CE2,即 =r2+3
解得:r=
方法二:AE=AD﹣DE=1,过点O作OM⊥AE于点M,则AM= AE=
在Rt△AMO中,OA= =
÷
=
【解析】(1)连接OE.欲证直线CE与⊙O相切,只需证明∠CEO=90°,即OE⊥CE即可;(2)在直角三角形ABC中,根据三角函数的定义可以求得AB= ,然后根据勾股定理求得AC=
,同理知DE=1;方法一、在Rt△COE中,利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2 , 即
=r2+3,从而易得r的值;方法二、过点O作OM⊥AE于点M,在Rt△AMO中,根据三角函数的定义可以求得r的值.
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD交AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AG2=AFAB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=2 ,AB=4
,求△AFG的面积.
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【题目】在开展“美丽广西,清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵,已知A种树苗每棵30元,B种树苗每棵90元.
(1)设购买A种树苗x棵,购买A、B两种树苗的总费用为y元,请你写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元,且B种树苗的棵数不少于A种树苗棵数的3倍,那么有哪几种购买树苗的方案?
(3)从节约开支的角度考虑,你认为采用哪种方案更合算?
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y= (k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是 .
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【题目】某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)
(参考数据:sin48°≈ ,tan48°≈
,sin64°≈
,tan64°≈2)
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
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【题目】如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点,且B(1,0)
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线y= x﹣
分别与x轴、y轴交于C、F两点,点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE.问:以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)观察推理:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l的同侧,,垂足分别为.求证:△AEC≌△CDB.
(2)类比探究:如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB,,连接CB,,求△ACB,的面积.
(3)拓展提升:如图③,在△EBC中,∠E=∠ECB=60°,EC=BC=3,点O在BC上,且OC=2,动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点 F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间t.
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