Question

3、有n个数x₁，x₂，…，x_n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁=0，求证：n是4的倍数．

Answer 1

分析：可以先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．即可证明n是4的倍数．

解答：解：证明：我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．
由于x₁，x₂，，x_n．的绝对值都是1，所以，x₁x₂，x₂x₃，…，x_nx₁的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．
下面我们来考虑（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）．一方面，有（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）=（-1）^k，
另一方面，有（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）=（x₁x₂x_n）₂=1．
所以（-1）k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．

点评：本题考查了奇偶性的问题．设其中有k个-1，k个+1是解题的关键．