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【题目】1)如图1,点EF分别在正方形ABCD的边BCCD上,∠EAF=45°,求证:EF=BE+FD

2)如图2,四边形ABCD中,∠BAD≠90°AB=AD∠B+∠D=180°,点EF分别在边BCCD上,则当∠EAF∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD,说明理由.

3)如图3,四边形ABCD中,∠BAD≠90°AB=ADAC平分∠BCDAE⊥BCEAF⊥CDCD延长线于FBC=8CD=3,则CE=   .(不需证明)

【答案】(1)详见解析;(2)∠BAD=2∠EAF理由详见解析;(3CE=5.5.

【解析】试题分析:1)将△ABE绕点A旋转使得ABAD重合,然后证明△AFG≌△AFE,再利用全等三角形对应的边相等的性质不难证明;(2首先延长CBM,使BM=DF,连接AM构造△ABM≌△ADF,再证明△FAE≌△MAE最后将相等的边进行转化整理即可证明.

试题解析:

1)证明:把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,如图1所示:

则△ADG≌△ABE

AG=AEDAG=BAEDG=BE

又∵∠EAF=45°,即∠DAF+BAE=EAF=45°

∴∠GAF=FAE

在△GAF和△FAE中, ,

∴△AFG≌△AFESAS).

GF=EF

又∵DG=BE

GF=BE+DF

BE+DF=EF

2BAD=2EAF.理由如下:

如图2所示,延长CBM,使BM=DF,连接AM

∵∠ABC+D=180°ABC+ABM=180°

∴∠D=ABM

在△ABM和△ADF中,

∴△ABM≌△ADFSAS

AF=AMDAF=BAM

∵∠BAD=2EAF

∴∠DAF+BAE=EAF

∴∠EAB+BAM=EAM=EAF

在△FAE和△MAE中,

∴△FAE≌△MAESAS),

EF=EM=BE+BM=BE+DF

EF=BE+DF

3CE=5.5

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