Question

15．如图，已知AB=CD，AD=BC，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，求证：AE=CF．

Answer 1

分析 根据已知条件判断四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EAO=∠FCO，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，难点在于判断出四边形ABCD是平行四边形然后求出三角形全等的条件．