Question

4．许多桥梁都采用抛物线型设计．小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如图示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点．左右两条抛物线关于y轴对称，M、N分别是其顶点．经过测算，中间抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{36}$x²+16，并且BD=$\frac{1}{2}$CD．
（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；
（2）求桥上三条钢粱的总跨度AB的长；
（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入抛物线的解析式就可以直接求出结论．
（2）当y=0时代入抛物线的解析式，求出其交点坐标就可以求出CD的长度，从而就可以BD、CD的值而得出结论．
（3）由（2）的结论可以求出点B、点D的坐标，作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{36}$x²+16，
∴当x=0时，y=16，
∴钢梁最高点离桥面的高度OE的长16m；

 （2）∵y=-$\frac{1}{36}$x²+16，
∴当y=0时，0=-$\frac{1}{36}$x²+16，
∴x=±24，
∴C（-24，0），D（24，0），
∴DC=48，
∵BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴BD=24，
∵左右两条抛物线关于y轴对称，
∴AC=BD=24，
∴AB=48+24+24=96m；

（3）如图，

作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN
∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，
∵DE∥BN，
∴∠2=∠1，
∴△NFB∽△EOD，
∴$\frac{BF}{OD}$=$\frac{NF}{OE}$，
∴$\frac{12}{24}$=$\frac{NF}{16}$，
∴NF=8．
∴N（36，8）．
设抛物线的解析式为y=a（x-36）²+8，由题意，得
0=a（24-36）²+8，
解得：a=-$\frac{1}{18}$，
∴y=-$\frac{1}{18}$（x-36）²+8．

点评 本题考查了二次函数的运用，轴对称的运用，平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，抛物线的顶点式的运用，解答时求出抛物线与x轴的交点坐标是关键．