Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于点C，对称轴l与x轴的正半轴相交于点D，与抛物线相交于点F，点C关于直线l的对称点为E．
（1）当a=-2，b=4，c=2时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形CDEF是正方形，且AB=

2

，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C、F、E点的坐标，连接CE，交DF于P，即可得到CP、DP、EP、FP的长，由此可证得CE、DF互相平分，由此可判定四边形CDEF是平行四边形；知道了CP、DP的长，即可用勾股定理求出CD的长，同理可求出CF的长，易证得CD=CF，由此可判定四边形CDEF是菱形；（也可根据直线l是C、E的对称轴，得到CF=EF，由此可判定平行四边形CDEF是菱形）
（2）若四边形CDEF是正方形，则OC=DP=CP=EP=PF=c，可据此表示出F点的坐标，即可用顶点式表示出该二次函数的解析式，将其化为一般式后，可得到两个表示C点纵坐标的式子，联立两式可求出a、c的关系式，由此可用a表示出该二次函数的表达式，进而可用a表示出A、B的坐标，然后根据AB的长即可求出a的值，从而确定二次函数的解析式．

解答：解：（1）结论：四边形CDEF是菱形（1分）．
∵直线l是抛物线的对称轴，点C、E关于l对称，
∴F₂为抛物线的顶点，点E在抛物线上，
∵y=-2x²+4x+2=-2（x²-2x-1）=-2（x-1）²+4，
∴四边形CDEF各顶点坐标分别为C（0，2），D（1，0），F（1，4），E（2，2），
连接CE交直线于l于点P，则P点坐标为（1，2），
∴CP=PE=1，DP=PF=2，
∴四边形CDEF是平行四边形（2分），
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=

5

，
在Rt△CPF中，CF=

CP2+PF2

=

5

，
∴CD=CF，
∴四边形CDEF是菱形；（3分）

（2）（方法一）∵四边形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC=c，
∴点F的坐标为（c，2c），（4分）
∴抛物线为y=a（x-c）²+2c=ax²-2acx+ac²+2c，（5分）
∴ac²+2c=c（6分），
∴ac=-1（∵c＞0），
即c=-

1

a

，（7分）
∴y=ax2+2x-

1

a

；（8分）
（方法二）设抛物线的顶点F坐标为（h，k），
则y=a（x-h）²+k=ax²-2ahx+ah²+k（4分），
∴c=ah²+k（5分），
∵四边形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC，
∴

k=2h k=2(ah2+k)

，（6分）
解得

h=- 1 a k=- 2 a

，（7分）
∴y=ax2+2x-

1

a

，（8分）
令ax2+2x-

1

a

=0，
得x=

-2± 4-4a×(- 1 a )

2a

=

-1± 2

a

，（9分）
由AB=

2

，a＜0，
得

-1- 2

a

-

-1+ 2

a

=

2

，
∴a=-2，（10分）
经检验，a=-2是原分式方程的解，（11分）
∴所求解析式为y=-2x2+2x+

1

2

．（12分）

点评：此题主要考查了菱形的判定、正方形的性质以及二次函数解析式的确定，综合性强，难度较大．