Question

如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：四边形MPBG是平行四边形；
（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果按题设作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

Answer 1

考点：四边形综合题,平行线的判定

专题：几何综合题

分析：（1）分别证得DB∥ME和MN∥CB后利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）根据正方形BEFG，从而可得CM=1-x，然后得y=

1

2

（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四边形BGMP是平行四边形，要使四边形BGMP是菱形则BG=MG，可得x=

2

（1-x），解得x即可．

解答：证明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形
∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，
∴DB∥ME（同位角相等，两直线平行）．
∵MN⊥AB，CB⊥AB，
∴MN∥CB．
∴四边形MPBG是平行四边形；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x．
∵∠CMG=∠BEG=45°，
∴CG=CM=BN=1-x．
∴y=

1

2

（GB+MN）•BN=

1

2

（1+x）（1-x）=

1

2

-

1

2

x²（0＜x＜1）；

（3）∵四边形BGMP是菱形，
∴BG=MG，
∴x=

2

（1-x），
∴x=2-

2

，
∴BE=2-

2

．

点评：此题考查了四边形的综合知识，较复杂，但充分利用题目所给的条件，根据四边形性质列出方程即可解答．解答此题，不要局限于一种方法，可以多试几种方法，以提高解题的“含金量”．