Question

7．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限内的一支，点A，P是图象上的两点，作AB⊥x轴，AC⊥y轴，PQ⊥x轴，PR⊥AB，垂足分别是B，C，Q，R，且四边形ABOC与四边形PQBR都是正方形．
（1）当k=1时，求正方形ABOC与正方形PQBR的边长；
（2）当k=2时，求正方形ABOC与正方形PQBR的边长；
（3）试求出第（1），（2）题中的正方形ABOC与正方形PQBR的边长之比，你发现其比有何特征？再请你探索一下，对于任意的k（k＞0）你所发现的特征是否还成立？

Answer 1

分析 （1）由k=1，利用反比例函数k的几何意义得到AC•AB=1，再由四边形ABOC为正方形，利用正方形的性质得到AC=AB，确定出A坐标，进而求出正方形ABOC的边长，设出P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即为正方形PQBR的边长；
（2）由k=2，同理求出正方形ABOC与正方形PQBR的边长即可；
（3）分别求出（1）和（2）中两正方形边长之比，发现之比为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，对于任意的k（k＞0），同理表示出两正方形边长，求出之比即可．

解答 解：（1）当k=1时，可得AC•AB=1，
∵四边形ABOC为正方形，
∴AC=AB=1，即A（1，1），即正方形ABOC的边长为1，
设正方形PQBR的边长为m（m＞0），可得P（1+m，m），
把P代入在双曲线y=$\frac{1}{x}$中，得：m（m+1）=1，
解得：m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去），
则正方形PQBR的边长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（2）k=2时，同理得到A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设正方形PQBR边长为m（m＞0），可得P（$\sqrt{2}$+m，m），
把P坐标代入反比例解析式得：m（m+$\sqrt{2}$）=2，
解得：m=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．
则正方形PQBR边长为$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$；
（3）第（1），（2）题中的正方形ABOC与正方形PQBR的边长之比为1：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
对于任意正数k，同理可得A（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），
设正方形PQBR边长为m，可得P（$\sqrt{k}$+m，m），
把P坐标代入反比例解析式得：m（$\sqrt{k}$+m）=k，
整理得：m²+$\sqrt{k}$m-k=0，
解得：m=$\frac{-\sqrt{k}+\sqrt{5k}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$•$\sqrt{k}$，
∴正方形ABOC与正方形PQBR的边长之比$\sqrt{k}$：m=1：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，对于k＞0时，以上结论都成立．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：正方形的性质，反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．