Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．

（1）若抛物线在时有最低点，求k的值；(2)若抛物线经过点（1，k2），求k的值；

（3）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）k＝4；（2）k=；（3）k＞1

【解析】

（1）由抛物线解析式可得出当x=k-1时，抛物线有最低点，结合条件可求出k的值；

（2）把点坐标代入解析式即可；
（3）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式

(1)由y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k得，y=[x-(k-1)]2-k-1

∴抛物线有最低点，

即k﹣1＝3，

解得，k＝4；

（2）把点（1，k2）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

k2=12﹣2（k﹣1）+k2﹣k

解得k=

（3）把点（2k，y1）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

y1=（2k）2﹣2（k﹣1）2k+k2﹣k=k2+k

把点（2，y2）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

y2=22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k=k2﹣k+8

∵y1＞y2

∴k2k2﹣k+8

解得k＞1.