Question

7．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D为BC边上一动点，点O是正方形ADEF的中心，当点D沿BC边从点B运动到点C时，点O运动的路径长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以点B为原点建立如图所示坐标系，作EG⊥x轴，证△ABD≌△DGE得AB=DG=4、BD=EG=a，从而得E（4+a，a），根据线段的中点坐标知O（$\frac{a+4}{2}$，$\frac{a+4}{2}$），从而知点O在直线y=x上，由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，根据两点间的距离公式可得答案．

解答 解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
过点E作EG⊥x轴于点G，连接AE，

根据题意知，点A（0，4）、C（4，0），
∵∠ABD=∠ADE=∠DGE=90°，
∴∠ADB+∠EDG=∠ADB+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠EDG，
在△ABD和△DGE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EDG}\\{∠ABD=∠DGE=90°}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DGE（AAS），
∴AB=DG=4，BD=EG，
设BD=EG=a，
则BG=BD+DG=4+a，
∴点E（4+a，a），
∵点O为正方形ADEF的中心，即点O为AE的中点，
∴点O（$\frac{0+4+a}{2}$，$\frac{4+a}{2}$），即O（$\frac{a+4}{2}$，$\frac{a+4}{2}$），
则无论a为任意实数，点O的横纵坐标相等，即点O在直线y=x上，
∵0≤a≤4，
∴2≤$\frac{a+4}{2}$≤4，即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，
则点O的运动路径长为$\sqrt{（4-2）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查点的运动轨迹，考查的知识点有等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及两点间的距离公式等，运用数形结合思想表示出点O的坐标，得出其运动的轨迹是解题的关键．