Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，∠MDN=90°，DM交AC于点E，DN交BC于点F．
（1）求证：△ABC∽△FED；
（2）若AC=3，BC=4，求△FDE外接圆面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CD，根据直角三角形的性质得到AD=BD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，推出点C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠DCB=∠DEF，∠ECD=∠DFE，等量代换得到∠DEF=∠B，于是得到结论；
（2）如图2，根据圆周角定理得到EF是△FDE外接圆的直径，当EF取最小值时，△FDE外接圆面积的最小，推出当DE⊥AC，DF⊥BC时，DE与DF的值最小，由DM与DN分别是AC，BC的垂直平分线，得到CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$BC=2，根据勾股定理得到EF=$\frac{5}{2}$，于是得到△FDE外接圆面积的最小值=（$\frac{5}{4}$）²π=$\frac{25}{16}$π．

解答 解：（1）如图1，连接CD，
∵Rt△ABC中，点D为BC中点，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠MDN=90°，∠ACB=90°，
∴点C，E，D，F四点共圆，
∴∠DCB=∠DEF，∠ECD=∠DFE，
∴∠DEF=∠B，
∴△ABC∽△FED；
（2）如图2，∵∠EDF=90°，
∴EF是△FDE外接圆的直径，
当EF取最小值时，△FDE外接圆面积的最小，
在Rt△EDF中，∵EF²=DE²+DF²，
∴DE与DF取最小值时，EF最小，
∴当DE⊥AC，DF⊥BC时，DE与DF的值最小，
∴DM与DN分别是AC，BC的垂直平分线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴△FDE外接圆面积的最小值=（$\frac{5}{4}$）²π=$\frac{25}{16}$π．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求证△AED≌△CFD是解题的关键．