Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，
（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；
（2）当0°＜α＜60°时，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD、CD．
①求证：△ABD≌△ACD；
②当α=40°，求∠ABD的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；
（2）①由旋转的性质可得BC=BD，∠DBC=60°，所以△BCD为等边三角形，于是BD=CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD；
②先由（1）求得∠ABC=70°，再由△BCD为等边三角形可得∠BDC=60°，于是可得∠ABD的度数．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

×（180°-α）=90°-

1

2

α；

（2）①线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，
∠DBC=60°
∴△BCD为等边三角形．
∴BD=CD      
在△ABD和△ACD中，

AB=AC BD=CD AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD （SSS）；
②当α=40°时，
∠ABC=90°-

1

2

α=70°  
∵△BCD为等边三角形．
∴∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠BDC=10°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．