Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，点Q从B点出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点D从A点出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点Q、D运动的时间是t秒．
（1）求AQ和CD的长（用含t的代数式表示）；
（2）连接DQ、CQ，以CD为对角线作平行四边形CQDP，在点Q、D的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得平行四边形CQDP成为菱形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由题意表示出BQ，根据AB-BQ表示出AQ即可；在直角三角形ABC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，由AC-AD表示出CD的长即可；
（2）存在某一时刻t，使得平行四边形CQDP成为菱形，理由为：连接PQ，交CD于点E，假设平行四边形CQDP为菱形，则有PQ垂直于CD，且DE=CE，在直角三角形AEQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AE=

1

2

AQ，进而确定出AE=CD，由AE-AD表示出DE，根据CD=2DE表示出CD，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：（1）∵BQ=2t，
∴AQ=AB-BQ=10-2t；                        
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=5，
∴CD=5-t；                    
（2）存在，理由如下：
连接PQ，交CD于点E，如图所示：

∵平行四边形CQDP是菱形，
∴PQ⊥CD，DE=CE，
在Rt△AEQ中，∠A=60°，
∴∠AQE=30°，
∴AE=

1

2

AQ=5-t=CD，
∴DE=AE-AD=5-2t，
∴CD=2DE=10-4t，
∴10-4t=5-t，
解得：t=

5

3

，
则存在t=

5

3

，使得平行四边形CQDP成为菱形．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，以及菱形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．