Question

已知：如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，且∠DFC=∠AEB．
（1）求证：AD•CE=AF•AC；
（2）当点E、F分别是边BC、AC的中点时，求证：AB⊥AC．

Answer 1

考点：直角梯形,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠DAC=∠ACB，∠DFA=∠AEC，根据相似三角形的判定定理推出△ADF∽△CAE，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出AC=2AF，BC=2CE，根据AD•CE=AF•AC得出AD•BC=AC•AC，证△ADC∽△CAB，推出∠ADC=∠CAB即可．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DFC=∠AEB，
∴∠DFA=∠AEC，
∴△ADF∽△CAE，
∴

AD

AC

=

AF

CE

，
∴AD•CE=AF•AC．

（2）解：∵点E、F分别是边BC、AC的中点，
∴AC=2AF，BC=2CE，
又∵AD•CE=AF•AC，
∴AD•2CE=2AF•AC，即：AD•BC=AC•AC，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，
又∵∠DAC=∠ACB，
∴△ADC∽△CAB，
∴∠ADC=∠CAB，
又∵∠ADC=90°，
∴∠CAB=90°，
∴AB⊥AC．

点评：本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．